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Noções de Probabilidade e Estatística
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Parte 6.2 - Inferência
Estimação por intervalo e testes de hipótese
1 Estimação por intervalo
Quando estimamos um parâmetro podemos ter estimativas pontuais, isto é, um único valor numérico para o parâmetro de interesse ou estimativas intervalares, isto é, um intervalo de possíveis valores para o parâmetro de interesse.
Por serem variáveis aleatórias, as estatísticas têm distribuição de probabilidade, são as chamadas distribuições amostrais, e os intervalos de confiança são obtidos a partir destas distribuições.
O intervalo de confiança é uma estimativa mais informativa pois, aliada à estimativa pontual, nos fornece informação quanto a precisão do valor observado.
Interpretação:
“Temos \(\gamma\) % de confiança de que o intervalo entre (limite inferior) e (limite superior) realmente contém o parâmetro”.
“Se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho e, para cada uma delas, calcularmos os correspondentes intervalos de confiança com coeficiente de confiança \(\gamma\), esperamos que a proporção de intervalos que contenham o valor do parâmetro seja igual a \(\gamma\).”
Lembre-se: o parâmetro é fixo, contudo diferentes amostras levam a diferentes intervalos. Por isso esperamos que o intervalo contenha o parâmetro e não que o parâmetro esteja contido no intervalo.
1.1 Intervalos de confiança para \(\mu\), com \(\sigma\) conhecido
O TCL permite a obtenção de intervalos de confiança para \(\mu\), mesmo quando a distribuição das variáveis aleatórias que constituem a amostra não seguem distribuição Normal. Neste caso, o intervalo terá coeficiente de confiança aproximadamente \(\gamma\), e esta aproximação melhora conforme se aumenta o tamanho amostral.
Se:
- Temos uma amostra aleatória simples.
- \(\sigma\) é conhecido.
- A população segue distribuição normal ou n > 30.
Então:
- Determine o nível de confiança \(\gamma\).
- Encontre o valor crítico \(z_{\gamma/2}\).
- Calcule a margem de erro \(e = z_{\gamma/2} . \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
O intervalo de confiança para \(\mu\), com coeficiente de confiança \(\gamma\) é dado por:
\[IC = \bar{x} \pm z_{\gamma/2}\left ( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right )\]
1.2 Intervalos de confiança para \(\mu\), com \(\sigma\) desconhecido
Na maioria das situações práticas, não sabemos o verdadeiro valor do desvio padrão populacional \(\sigma\) e por isso, ao invés de utilizar a distribuição Normal, usa-se a t de Student. Esta distribuição possui caudas mais pesadas que a Normal, fazendo com que a incerteza a respeito da variabilidade seja incorporada no intervalo de confiança.
Se:
- Temos uma amostra aleatória simples.
- \(\sigma\) é DESconhecido, mas temos uma estimativa \(s\).
- A população segue distribuição normal ou n > 30.
Então:
- Determine o nível de confiança \(\gamma\).
- Encontre o valor crítico \(t_{\gamma/2}\).
- Calcule a margem de erro \(e = t_{\gamma/2} . \frac{s}{\sqrt{n}}\).
O intervalo de confiança para \(\mu\), com coeficiente de confiança \(\gamma\) é dado por:
\[IC = \bar{x} \pm t_{\gamma/2}\left ( \frac{s}{\sqrt{n}} \right )\]
1.3 Intervalo de confiança para a proporção \(p\)
O procedimento para obtenção de um intervalo de confiança para a proporção é:
Se:
- Temos uma amostra aleatória simples.
- As condições para a distribuição binomial são satisfeitas:
- As tentativas são independentes.
- Há duas categorias de resultado (“sucesso”, “fracasso”).
- A probabilidade de sucesso \(p\) permanece constante.
- A distribuição Normal pode ser usada como aproximação para a distribuição binomial, ou seja, \(np ≥ 5\) e \(np(1 − p) ≥ 5\).
Então:
- Determine o nível de confiança \(\gamma\).
- Encontre o valor crítico \(z_{\gamma/2}\).
- Calcule a margem de erro \(e = z_{\gamma/2} . \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).
O intervalo de confiança para \(p\), com coeficiente de confiança \(\gamma\) é dado por:
\[IC = \hat{p} \pm z_{\gamma/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]
Contudo, note que dentro da raiz na expressão do intervalo de confiança, há a quantidade \(p\), que é desconhecida. Duas abordagens são válidas:
- Substituir \(p\) por \(\hat{p}\).
- Substituir \(p\) por \(1/4\), considerando que a expressão \(p(1-p)\) tem valor máximo igual a \(1/4\) quando \(0\leq p \leq 1\).
A primeira alternativa é considerada otimista, pois considera que a estimativa \(\hat{p}\) é suficientemente próxima da verdadeira proporção \(p\). Enquanto que a segunda alternativa é considerada conservadora, pois considera o pior cenário possível, fazendo com que o intervalo de confiança fique maior.
2 Teste de hipóteses
Os principais objetivos da Inferência Estatística são estimar parâmetros populacionais (por meio de estimativas pontuais e intervalares) e testar hipóteses sobre estes parâmetros.
Uma hipótese é uma afirmativa sobre uma propriedade da população e um teste de hipótese é o procedimento pelo qual se verifica esta propriedade.
Em geral, enunciamos uma hipótese nula e uma alternativa de forma que:
- \(H_{0}\): Hipótese de igualdade. Afirma-se que o valor do parâmetro é igual a algum valor especificado.
- \(H_{1}\): Hipótese de diferença. Afirma-se que o valor do parâmetro é apenas maior, ou apenas menor, ou ainda apenas diferente daquele que foi enunciado na hipótese nula.
As hipóteses, considerando \(\theta\) um parâmetro de interesse, podem ser:
| \[ \left\{\begin{matrix} H_0: \theta = \theta_0 \\ H_1: \theta \neq \theta_0 \end{matrix}\right.\\ \] | \[ \left\{\begin{matrix} H_0: \theta = \theta_0 \\ H_1: \theta < \theta_0 \end{matrix}\right.\\ \] | \[ \left\{\begin{matrix} H_0: \theta = \theta_0 \\ H_1: \theta > \theta_0 \end{matrix}\right.\\ \] |
Na prática podemos rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula \(H_{0}\). Não se usa o termo aceitar a hipótese nula pois não se pode aceitar uma hipótese baseada apenas em evidências amostrais.
Podemos cometer erros ao testar hipóteses, são eles:
- Erro do tipo I (\(\alpha\)): Rejeitar \(H_{0}\) quando \(H_{0}\) é verdadeira.
- Erro do tipo II (\(\beta\)): Não rejeitar \(H_{0}\) quando \(H_{0}\) é falsa.
O ideal é que \(\alpha\) e \(\beta\) sejam próximos de 0, na prática a medida que diminui-se o \(\alpha\), \(\beta\) aumenta. Nossa preocupação é sempre evitar o erro do tipo I. Por isso \(\alpha\) recebe o nome de nível de significância.
As etapas para realização de um teste de hipóteses são:
- Enunciar as hipóteses nula e alternativa.
- Definir a forma da região crítica, com base na hipótese alternativa.
- Identificar a distribuição do estimador e obter sua estimativa.
- Fixar \(\alpha\) e obter a região crítica.
- Interpretar o resultado.
2.1 Teste para a média populacional
Considerando dados em que o modelo Normal é adequado, quando estamos interessados em testar hipóteses acerca da média populacional utilizamos a média amostral \(\bar{X}\), pois é um estimador não viciado e consistente de \(\mu\).
Considere um exemplo genérico, em que estamos interessados em verificar se a média é igual ou menor que 18. Para isso, considere que a variável de interesse segue distribuição Normal com desvio padrão conhecido igual a 6 e o tamanho amostral é igual a 30. Logo as hipóteses de interesse são:
\[ \left\{\begin{matrix} H_0: \mu = 18 \\ H_1: \mu < 18 \end{matrix}\right.\\ \]
Com \(\alpha\) conhecido, o valor crítico \(x_c\) é dado por
\[ P(\bar{X}<x_c|\mu=18) = P(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < \frac{x_c-18}{6/\sqrt{30}}) = P(Z < z_c) \]
\[ z_c= \frac{x_c-18}{6/\sqrt{30}} \Rightarrow x_c = 18+z_c \frac{6}{\sqrt{30}} \]
Considerando \(\alpha = 0,05\), \(z_c=-1,64\) e \(x_c = 16,20\). Como se trata de um teste unilateral à esquerda, a chamada Região Crítica (conjunto de números reais para os quais rejeita-se a hipótese nula) é dada por:
\[RC=\left \{ x \in \mathbb{R}: x < 16,20 \right \}\]
Se o valor observado pertencer à chamada região crítica, rejeita-se a hipótese nula. Então, caso a amostra forneça média amostral menor que 16,20, este valor pertencerá à região crítica e conclui-se que rejeitamos \(H_0\) ao nível de significância de 5% (\(\alpha = 0,05\)). Caso contrário, conclui-se que não houve evidência suficiente para a não rejeição da hipótese nula.
Caso a hipótese de interesse fosse:
\[ \left\{\begin{matrix} H_0: \mu = 18 \\ H_1: \mu > 18 \end{matrix}\right.\\ \]
Alteraria-se o \(z_c\) para 1,64, pois é o valor da distribuição Normal Padrão cuja área restante à direita é igual ao 0,05 especificado como \(\alpha\). As interpretações seguem a mesma lógica.
Caso a hipótese de interesse fosse:
\[ \left\{\begin{matrix} H_0: \mu = 18 \\ H_1: \mu \neq 18 \end{matrix}\right.\\ \]
existiriam dois valores \(x_c\): um à esquerda e outro à direita. Para obtenção destes valores basta utilizar o valor \(\alpha/2\) e encontrar os correspondentes valores \(x_c\) tanto para o caso da hipótese alternativa ser \(\mu<18\) quanto para \(\mu>18\), caso o valor obtido esteja dentro de qualquer uma das duas regiões, rejeita-se a hipótese nula.
A ausência de normalidade pode ser contornada com o auxílio do Teorema Central do Limite que nos garante que, para amostras grandes, a média amostral tem distribuição Normal.
Lembrando o que foi apresentado anteriormente, a proporção (número de sucessos/número de tentativas) pode ser interpretada como a média de uma variável aleatória convenientemente definida. Desta forma, o procedimento para testar hipóteses a respeito da proporção é extremamente similar ao que foi apresentado. Para esta situação, admitimos que:
\[\hat{p} \sim N(p,p(1-p)/n)\]
2.2 Teste para a média com variância desconhecida
Na prática, existem diversas situações em que a variância populacional é desconhecida. Lembre-se que o TCL nos garante que a média amostral segue sempre distribuição Normal quando o tamanho amostral aumenta.
Contudo a ausência de informação quanto à variabilidade da população gera a necessidade de estimarmos esta quantidade. Em geral utiliza-se a já apresentada estatística \(S^2\).
E a variável padronizada é dada por:
\[ T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \]
A variável \(T\) segue distribuição \(t\) de Student, denotada por \(t_{(n-1)}\) em que \((n-1)\) são os chamados graus de liberdade da distribuição.
Tal como a distribuição Normal, trata-se de uma distribuição com densidade de probabilidade consideravelmente complexa e usa-se tabelas para obtenção de probabilidades de interesse ao invés de calcular via integração.
A \(t\) é simétrica, tal como a distribuição Normal. E a medida que o tamanho amostral aumenta, as densidades convergem. Para tamanhos amostrais reduzidos a diferença entre as distribuições está principalmente nas caudas, a variabilidade da distribuição \(t\) é maior que a da Normal, fazendo com que as caudas sejam mais “pesadas” e a incerteza quanto à ausência do real valor da variância seja incorporado pelo modelo adotado.
Note que como utiliza-se a variância amostral, diferentes amostras vão resultar em diferentes resultados e, em alguns casos, as conclusões podem mudar de amostra para amostra.
Considere um exemplo genérico em que estamos interessados em testar:
\[ \left\{\begin{matrix} H_0: \mu = 12 \\ H_1: \mu \neq 12 \end{matrix}\right.\\ \]
em um problema em que a amostra fornecida para a variável de interesse foi: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7; e 13,5. Não temos informação quanto à variância populacional e desejamos testar a hipótese considerando 1% de significância.
A região crítica é da forma: \(RC = \left \{ t \in \mathbb{R}| t<t_1 \ ou \ t<t_2 \right \}.\) Para obtenção das regiões críticas temos:
\[ T=\frac{\bar{X}-12}{S/\sqrt{5}}\sim t_{(4)}. \]
E, da tabela da distribuição \(t\) temos:
\[ P(t<t_1)=0,01/2 \Rightarrow t_1=-4,604 \\ P(t>t_2)=0,01/2 \Rightarrow t_2=4,604 \]
A média amostral é igual a 13,9, enquanto que a variância foi igual a 0,67. Logo, o \(t\) calculado é dado por:
\[ t_c=\frac{\bar{X}-12}{S/\sqrt{5}}=\frac{13,9-12}{0,82/\sqrt{5}}=5,18 \]
Como o valor calculado pertence à região crítica, rejeitamos a hipótese nula.
Críticas e sugestões a este material sempre serão bem vindas.
Para entrar em contato comigo, envie uma mensagem para lineuacf@gmail.com.