Noções de Probabilidade e Estatística

Lineu Alberto

Parte 7 - Tópicos interessantes não abordados

Na parte final deste material serão apresentadas algumas das técnicas famosas discutidas nas disciplinas de Estatística básica e outras mais sofisticadas. Para nenhum dos tópicos haverá um grande nível de profundidade, apenas será apresentada em que caso se aplica a técnica.

1 Testes Qui-Quadrado

Um importante modelo que recorrentemente surge quando o assunto são técnicas estatísticas é o modelo Qui-Quadrado. O modelo Qui-Quadrado é contínuo e assume valores não negativos. Sua densidade tem forma complexa e, na ausência de um computador, as probabilidades são obtidas via tabelas.

Alguns importantes testes de hipóteses que envolvem o modelo Qui-Quadrado são: o teste de aderência e o teste de independência.

O teste de aderência é utilizado para verificar adequação dos dados à um modelo de probabilidades conhecido. Uma maneira de se encontrar uma distribuição candidata é através da análise exploratória, com o uso de técnicas tais como o histograma e o box-plot. Deste modo, obtendo uma distribuição candidata compara-se a frequência observada nos dados com o que seria esperado na distribuição de probabilidades. Caso as frequências sejam próximas, concliu-se que os dados seguem a distribuição de probabilidades candidata. A estatística de teste é dada por

\[Q^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(o_{i}-e_{i})^2}{e_{i}}\]

em que \(o_{i}\) e \(e_{i}\) representam as frequências observadas e esperadas. Com o tamanho amostral suficientemente grande essa quantidade segue distribuição Qui-Quadrado com \(k-1\) graus de liberdade (\(\chi^2_{(k-1)}\)) para testar a hipótese de que os dados seguem a distribuição candidata.

Já o teste de independência é o mesmo apresentado na parte referente à análise exploratórita desta sequência. Trata-se da mesma quantidade e o mesmo procedimento, contudo em vez de se usar empiricamente a regra “valores próximos de 0 apontam para ausência de associação entre as variáveis”, faz-se um teste de hipóteses a fim de verificar se as variáveis são independentes, tendo em vista que a estatística de teste segue distribuição Qui-Quadrado.

2 Comparação de duas médias

Os testes de comparação entre duas médias são utilizados quando estamos interessados em comparar duas populações. As situações possíveis são: comparação de amostras dependentes, amostras independentes com variâncias conhecidas ou desconhecidas, etc. No caso de amostras dependentes, isto é, para cada unidade amostral realiza-se duas medições da característica de interesse utiliza-se o teste t-pareado, o mais famoso quando se trata de comparação entre médias. Em geral, os testes para comparação de médias utilizam a distribuição \(t\).

3 Análise de variância

A análise de variância é utilizada para comparação de três ou mais populações, definidas por uma variável qualitativa (fator), através de testes com as correspondentes médias de cada fator.

4 Modelos de regressão

Quando estamos interessados em estudar a relação entre duas variáveis (\(X\) e \(Y\)) busca-se uma função de \(X\) que explique \(Y\). Na prática criamos modelos para o fenômeno em observação de forma que é conveniente supor que cada observação é formada por duas partes: uma previsível (ou controlada) e outra aleatória (ou não previsível).

A parte previsível, incorpora o conhecimento sobre o fenômeno, e é usualmente expressa por uma função matemática com parâmetros desconhecidos. Enquanto que a parte aleatória deve obedecer algum modelo de probabilidade.

Com isso, o trabalho é produzir estimativas para os parâmetros desconhecidos, com base em amostras observadas.

A análise de regressão é a técnica estatística que analisa as relações existentes entre uma única variável (chamada de dependente ou resposta), e uma ou mais variáveis (chamadas independentes, explicativas ou covariáveis). O objetivo é estudar as relações entre as variáveis, a partir de um modelo matemático, permitindo estimar o valor de uma variável a partir da outra.

Deste modo os modelos de regressão são técnicas que permitem avaliar como um conjunto de variáveis afeta uma de interesse. E também podem ser usados para fins de predição de resultados futuros. Existe uma grande gama de modelos para os mais diversos fins, dentre os quais os mais conhecidos são o modelo de regressão linear (simples e múltipla) e a classe dos modelos lineares generalizados.

Críticas e sugestões a este material sempre serão bem vindas.

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